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    已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。

    （Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；

    （Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；

    （Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

     


    解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、

     OE．∴FO∥DC，且FO=DC  ∴FO∥AE

    又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．

    ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE  又OE平面PEC，AF平面PEC  ∴AF∥平面PEC

    （Ⅱ）连结AC

    ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平

    面ABCD所成的角

    在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为

    （Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角 

    由△AME∽△CBE，可得，∴

    ∴二面角P一EC一D的正切为

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