Question

19．双曲线：$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1（n＞0，m＞0）的两个焦点为F₁，F₂，P在双曲线上．且满足∠F₁PF₁=$\frac{π}{3}$，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=1，则m=$\root{4}{\frac{1}{3}}$．

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式可得|PF₁||PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，由双曲线性质得出|PF₁|-|PF₂|=2n，代入余弦定理即可消去n得出关于m的方程．

解答 解：∵S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|P{F}_{1}||P{F}_{2}|sin∠{F}_{1}P{F}_{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|PF₁||PF₂|=1，
∴|PF₁||PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∵P在双曲线上，∴|PF₁|-|PF₂|=2n，
∴|PF₁|=2n+|PF₂|，∴（2n+|PF₂|）|PF₂|=$\frac{4}{\sqrt{3}}$．
在△F₁PF₂中，由余弦定理得：|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁||PF₂|．
∵|F₁F₂|²=4c²=4m²+4n²，
∴4m²+4n²=（2n+|PF₂|）²+|PF₂|²-$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴4m²=2|PF₂|²+4n|PF₂|-$\frac{4}{\sqrt{3}}$=2（2n+|PF₂|）|PF₂|-$\frac{4}{\sqrt{3}}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$．
∴m²=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$，
∴m=$\root{4}{\frac{1}{3}}$．
故答案为：$\root{4}{\frac{1}{3}}$．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，余弦定理，属于中档题．