Question

探究函数f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值，并确定相应的x的值，列表如下，请观察表中y值随x值变化的特点，完成下列问题：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.102	4.24	4.3	5	5.8	7.57	…

（1）若当x＞0时，函数f（x）=x+

4

x

时，在区间（0，2）上递减，则在

 

上递增；
（2）当x=

 

时，f（x）=x+

4

x

，x＞0的最小值为

 

；
（3）试用定义证明f（x）=x+

4

x

，x＞0在区间上（0，2）递减；
（4）函数f（x）=x+

4

x

，x＜0有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？
解题说明：（1）（2）两题的结果直接填写在答题卷中横线上；（4）题直接回答，不需证明．

Answer 1

分析：（1）由表中的数据可得函数的单调性；
（2）由表中的数据可以得出函数的最值；
（3）用定义法证明单调性，可先取任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，再研究f（x₁）-f（x₂）的差的符号，由定义得出函数的单调性；
（4）由于函数是一个奇函数，故可由函数的对称性得出答案．

解答：解：（1）若函数f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）时，在区间（0，2）上递减，则在（2，+∞） 上递增；
（2）当x=2 时，f（x）=x+

4

x

  x∈（0，+∞）的最小值为4；---（4分）
（3）设任意的x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=x1+

4

x1

-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)-----（10分）
∵x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0f（x₁）＞f（x₂），即
∴f（x）=x+

4

x

  在区间（0，2）上单调递减---------------（12分）
（4）函数f（x）=x+

4

x

，x＜0有最大值，当x=-2时，最大值是-4----（14分）

点评：本意考查函数奇偶性的判断及函数的单调性的证明的方法--定义法，解题的关键是熟练掌握函数的单调性的证明方法与函数的奇偶性的判断方法，熟练掌握一些基本函数的性质有利于快速解答本题