Question

已知sin +cos=,∈(0,).求值：
（1）tan;(2)sin-cos;(3)sin³+cos³.

Answer 1

(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin³+cos³=

方法一 ∵sin+cos=,∈(0,),
∴(sin+cos)²==1+2sincos，
∴sincos=-＜0.
由根与系数的关系知，
sin,cos是方程x²-x-=0的两根，
解方程得x₁=,x₂=-.
∵sin＞0,cos＞0,∴sin=,cosθ=-.
∴(1)tan=-.(2)sin-cos=.(3)sin³+cos³=.
方法二 （1）同方法一.
（2）（sin-cos）²=1-2sin·cos
=1-2×=.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,
∴sin-cos=.
(3)sin³+cos³=(sin+cos)(sin²-sincos+cos²)
=×=.