Question

如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D为侧棱PC的中点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明:AD⊥平面PBC.

(2)求三棱锥D-ABC的体积.

(3)在∠ACB的平分线上确定一点Q,使得PQ∥平面ABD,并求此时PQ的长.

Answer 1

 (1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,

又AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥AD.由三视图可得,在△PAC中,PA=AC=4,且D为PC中点,所以AD⊥PC,又BC∩PC=C,

所以AD⊥平面PBC.

(2)由三视图可得BC=4,

由(1)知∠ADC=90°,BC⊥平面PAC,

又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积,

所以,所求三棱锥的体积V=××2×2×4=.

(3)取AB的中点O,连接CO并延长至Q,使得CQ=2CO,点Q即为所求.

连接OD,PQ,AQ,BQ,

因为O为CQ中点,所以PQ∥OD,

因为PQ⊄平面ABD,OD⊂平面ABD,所以PQ∥平面ABD,

四边形ACBQ的对角线互相平分,

所以ACBQ为平行四边形,所以AQ=4,又PA⊥平面ABC,

所以在直角△PAQ中,PQ==4.