Question

如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD⊥平面ABE，BE=BC，F为CE的中点，且AE⊥BE．
（1）求证：AE∥平面BFD；
（2）求证：BF⊥AC．

Answer 1

证明：（1）连接AC交BD于点M，如图所示：
由正方形ABCD可得：AM=MC，
又∵F为CE的中点，∴MF∥AE．
∵AE?平面BFD，MF?平面BFD，
∴AE∥平面BFD；
（2）∵BC=BE，F为CE的中点，∴BF⊥CE；
∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE．
又∵AE⊥BE，BC∩BE=B，∴AE⊥平面BCE，∴AE⊥BF．
∵AE∩CE=E，∴BF⊥平面ACE，
∴BF⊥AC．
分析：（1）利用正方形的对角线的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明．
点评：熟练掌握线面、面面垂直的判定和性质定理、正方形的对角线的性质、三角形的中位线定理是解题的关键．