Question

13．已知命题p：实数m满足m²-7am+12a²＜0（a＞0），命题q：实数m满足方程$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1表示焦点在y轴上的椭圆．
（1）当a=1时，若p∧q为真，求m的取值范围；
（2）若非q是非p的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出p，q为真时的m的范围，然后求解交集即可．
（2）分别求出p，q为真时的m的范围，结合p是q的充分不必要条件，得到关于m的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）当a=1时，由m²-7m+12＜0，
则3＜m＜4，
即命题p：3＜m＜4，
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1，
表示焦点在y轴上椭圆可得：6-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{7}{2}$，
即命题q：1＜m＜$\frac{7}{2}$，
由p∧q为真，
可得3＜m＜$\frac{7}{2}$．
（2）由m²-7am+12a²＜0（a＞0），
则3a＜m＜4a，
即命题p：3a＜m＜4a
由$\frac{{x}^{2}}{m-1}$+$\frac{{y}^{2}}{6-m}$=1，
表示焦点在y轴上椭圆可得：6-m＞m-1＞0，
∴1＜m＜$\frac{7}{2}$，
即命题q：1＜m＜$\frac{7}{2}$，
由￢q是￢p 的充分不必要条件，
则p是q的充分不必要条件，
从而有：$\left\{\begin{array}{l}{3a≥1}\\{4a≤\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{3}$≤a≤$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了充分必要条件，考查复合命题问题，考查解不等式以及椭圆的定义，是一道中档题．