Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，e为自然对数的底数．
（1）求曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程；
（2）关于x的不等式f（x）≥λ（x﹣1）在（0，+∞）上恒成立，求实数λ的值；
（3）关于x的方程f（x）=a有两个实根x1 ， x2 ， 求证：|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：对函数f（x）求导得f′（x）=lnx+1，

∴f′（e﹣2）=lne﹣2+1=﹣1，

又f（e﹣2）=e﹣2lne﹣2=﹣2e﹣2，

∴曲线y=f（x）在x=e﹣2处的切线方程为y﹣（﹣2e﹣2）=﹣（x﹣e﹣2），

即y=﹣x﹣e﹣2；

（2）解：记g（x）=f（x）﹣λ（x﹣1）=xlnx﹣λ（x﹣1），其中x＞0，

由题意知g（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，

下面求函数g（x）的最小值，

对g（x）求导得g′（x）=lnx+1﹣λ，

令g′（x）=0，得x=eλ﹣1，

当x变化时，g′（x），g（x）变化情况列表如下：

x	（0，eλ﹣1）	eλ﹣1	（eλ﹣1，+∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	递减	极小值	递增

∴g（x）min=g（x）极小值=g（eλ﹣1）=（λ﹣1）eλ﹣1﹣λ（eλ﹣1﹣1）=λ﹣eλ﹣1，

∴λ﹣eλ﹣1≥0，

记G（λ）=λ﹣eλ﹣1，则G′（λ）=1﹣eλ﹣1，

令G′（λ）=0，得λ=1，

当λ变化时，G′（λ），G（λ）变化情况列表如下：

λ	（0，1）	1	（1，+∞）
G′（λ）	+	0	﹣
G（λ）	递增	极大值	递减

∴G（λ）max=G（λ）极大值=G（1）=0，

故λ﹣eλ﹣1≤0当且仅当λ=1时取等号，

又λ﹣eλ﹣1≥0，从而得到λ=1

（3）解：先证f（x）≥﹣x﹣e﹣2，

记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2，则h′（x）=lnx+2，

令h′（x）=0，得x=e﹣2，

当x变化时，h′（x），h（x）变化情况列表如下：

x	（0，e﹣2）	e﹣2	（e﹣2，+∞）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	递减	极小值	递增

∴h（x）min=h（x）极小值=h（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2+e﹣2=0，

h（x）≥0恒成立，即f（x）≥﹣x﹣e﹣2，

记直线y=﹣x﹣e﹣2，y=x﹣1分别与y=a交于（ ，a），（ ，a），

不妨设x1＜x2，则a=﹣ ﹣e﹣2=f（x1）≥﹣x1﹣e﹣2，

从而 ＜x1，当且仅当a=﹣2e﹣2时取等号，

由（2）知，f（x）≥x﹣1，则a= ﹣1=f（x2）≥x2﹣1，

从而x2≤ ，当且仅当a=0时取等号，

故|x1﹣x2|=x2﹣x1≤ ﹣ =（a+1）﹣（﹣a﹣e﹣2）=2a+1+e﹣2，

因等号成立的条件不能同时满足，故|x1﹣x2|＜2a+1+e﹣2

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（e﹣2）和f（e﹣2）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数g（x）的导数，得到函数的单调区间，求出函数的极小值，从而求出λ的值即可；（3）记h（x）=f（x）﹣（﹣x﹣e﹣2）=xlnx+x+e﹣2 ， 求出h（x）的最小值，得到a= ﹣1=f（x2）≥x2﹣1，得到|x1﹣x2|=x2﹣x1≤ ﹣ ，从而证出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．