Question

2．求方程$\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$，（0≤t≤2π）确定的二阶导数$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 先将式子化为$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frac{d}{dx}$（$\frac{dy}{dx}$）=$\frac{d}{dt}$（$\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$）$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\frac{d}{dt}（\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx}）}{\frac{dx}{dt}}$，再将$\frac{dy}{dt}$=3asin²tcost，$\frac{dx}{dt}$=-3acos²tsint，代入即可．

解答 解：根据参数方程导数的链式法则，
$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frac{d}{dx}$（$\frac{dy}{dx}$）=$\frac{d}{dt}$（$\frac{dy}{dt}$•$\frac{dt}{dx}$）$\frac{dt}{dx}$=$\frac{\frac{d}{dt}（\frac{dy}{dt}•\frac{dt}{dx}）}{\frac{dx}{dt}}$
因为$\left\{\begin{array}{l}{x=a•co{t}^{3}t}\\{y=a•si{n}^{3}t}\end{array}\right.$，
所以$\frac{dy}{dt}$=3asin²tcost，$\frac{dx}{dt}$=-3acos²tsint，
原式=$\frac{\frac{d}{dt}（-\frac{sint}{cost}）}{-3acos^2t•sint}$=$\frac{\frac{1}{cos^2t}}{3acos^2t•sint}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$，
所以，$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$=$\frac{1}{3acos^4t•sint}$．

点评 本题主要考查了参数方程的二阶导数的求法，考查了求导的链式法则，以及两函数积与商的导数，属于中档题．