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【题目】已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x﹣2y﹣1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;
(2)若圆M经过不同的三点A、B、P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程.

【答案】
(1)解:AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以直线AC的方程为:x=0,

又直线CD的方程为:2x﹣2y﹣1=0,联立得 解得 ,所以

设B(b,0),则AB的中点 ,代入方程2x﹣2y﹣1=0,解得b=2,所以B(2,0);


(2)解:由A(0,1),B(2,0)可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x﹣2y﹣3=0,

注意到BP也是圆M的弦,所以,圆心在直线 上,

设圆心M坐标为

因为圆心M在直线4x﹣2y﹣3=0上,所以2m﹣2n+1=0①,

又因为斜率为1的直线与圆M相切于点P,所以kMP=﹣1,

,整理得m﹣2n﹣2=0②,

由①②解得m=﹣3,

所以,圆心 ,半径

则所求圆方程为 + = ,化简得x2+y2+x+5y﹣6=0.


【解析】(1)由AC边上的高BH所在直线的方程为y=0即x轴,得到AC边所在直线的方程为x=0即y轴,把x=0与2x﹣2y﹣1=0联立即可求出C的坐标,因为点B在x轴上,可设B的坐标为(b,0)利用中点坐标公式求出AB的中点D的坐标,把D的坐标代入到中线CD的方程中即可求出b的值,得到B的坐标;(2)根据A和B的坐标求出线段AB的垂直平分线方程,根据B和P的坐标求出线段BP的垂直平分线方程,设出圆心M的坐标,代入AB垂直平分线方程得到①,然后根据斜率为1的方程与圆相切,利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1得到直线MP的斜率为﹣1,根据M和P的坐标表示出直线MP的斜率让其等于﹣1得到②,联立①②即可求出圆心M的坐标,然后利用两点间的距离公式求出线段MA的长度即为圆的半径,根据所求的圆心M和半径写出圆的方程即可.

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