Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）若首项a₁=

3

2

，公差d=1，满足S_k²=（S_k）²的正整数k=

4

；
（2）对于一切正整数k都有S_k²=（S_k）²成立的所有的无穷等差数列是

a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1

．

Answer 1

分析：（1）由首项a₁，公差d的值，利用等差数列的求和公式分别表示出S_k²与S_k，代入S_k²=（S_k）²中化简后，得到关于k的方程，根据k为正整数，求出方程的解即可得到满足题意k的值；
（2）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，取k=1和k=2，根据S_k²=（S_k）²列出方程组，利用等差数列的通项公式及求和公式变形后，得到关于a₁与d的方程组，分别记作①和②，由①解得a₁的值为0或1，分两种情况考虑：（i）当a₁=0时，代入②求出d的值为0或6，经检验得到d=6不合题意，舍去，故d=0满足题意；当a₁=1时，代入②求出d的值为0或2，经检验都满足题意，综上，得到所有满足题意的无穷等差数列．

解答：解：（1）∵首项a₁=

3

2

，公差d=1．
∴S_n=na₁+

n(n-1)

2

d=

3n

2

+

n(n-1)

2

=

1

2

n²+n，
由S_k²=（S_k）²得：

1

2

（k²）²+k²=（

1

2

k²+k）²，
即

1

4

k⁴-k³=0，
∵k是正整数，∴k=4；…（5分）
（Ⅱ）设无穷等差数列{a_n}的公差为d，
则在S_k²=（S_k）²中分别取k=1，和k=2得：

S1=(S1)2 S4=(S2)2

，即

a1=a12① 4a1+6d=(2a1+d)2②

，
由①得：a₁=0或a₁=1，
（i）当a₁=0时，代入②得：d=0或d=6，
若a₁=0，d=0，则本题成立；
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知：S₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意；
（ii）当a₁=1时，代入②得4+6d=（2+d）²，解得：d=0或d=2，
若a=1，d=0则a_n=1，S_n=n，从而S_k²=（S_k）²成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=n²，从而S_k²=（S_k）²成立，
综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列，分别为a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1．
故答案为：（1）4；（2）a_n=0或a_n=1或a_n=2n-1

点评：本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和公式，以及等差数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．