【题目】已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)当时,若对任意互不相等的实数,都有成立,求实数的取值范围;
(3)判断函数在上的零点的个数,并说明理由.
【答案】(1);(2);(3)3个零点.
【解析】试题分析:(1)当时,不等式为,去掉绝对值化为或,解得;(2)先求出函数的单调增区间为和,由题意可得在上单调增,故可得,解得解得或;(3),当时,根据零点存在定理可得函数在区间和区间各有一个零点;当时,函数在区间上单调递增,在区间有一个零点,综上可得函数共有3个零点。
试题解析:
(1)当时,不等式为,
∴或,
解得,
∴原不等式的解集为.
(2)
的单调增区间为和
又在上单调增,
,
解得或
∴实数的取值范围为 .
(3)由题意得
①当时,对称轴为,
因为,
∴,
∵,即
∴,
又
由零点存在性定理可知,函数在区间和区间各有一个零点;
②当时,对称轴为,
函数在区间上单调递增且,
所以函数在区间有一个零点。
综上函数在上有3个零点.
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【题目】已知直角梯形中,是边长为2的等边三角形,.沿将折起,使至处,且;然后再将沿折起,使至处,且面面,和在面的同侧.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值.
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【题目】某校对高二年级选学生物的学生的某次测试成绩进行了统计,随机抽取了名学生的成绩作为样本,根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下:
(1)求表中的值和频率分布直方图中的值;
(2)如果用分层抽样的方法,从样本成绩在和的学生中共抽取人,再从人中选人,
求这人成绩在的概率.
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【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究。他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数,得到如下资料:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差/ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(1)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求出y关于x的线性回归方程=bx+a;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠?
(附:,,其中,为样本平均值)
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【题目】在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,
求证:(1) ;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
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