Question

已知直线y=-x+1与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量

OA

与向量

OB

互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[

1

2

，

2

2

]时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的离心率为

3

3

，焦距为2，求出椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．联立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

，消去y得：5x²-6x-3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

⊥

OB

，知x₁x₂+y₁y₂=0，由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，再由根的判断式得到a²+b²＞1，利用韦达定理，得到a²+b²-2a²b²=0．由此能够推导出长轴长的最大值．

解答：解：（1）∵e=

3

3

，2c=2，
∴a=

3

，b=

3-1

=

2

，
∴椭圆的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．…（2分）
联立

x2 3 + y2 2 =1 y=-x+1

，消去y得：5x²-6x-3=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6

5

，x1x2=-

3

5

，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

( 6 5 )2+ 12 5

=

8 3

5

．…（5分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OA

⊥

OB

，∴

OA

•

OB

=0，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=-x+1

，消去y得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1…（7分）
∵x1+x2=

2a2

a2+b2

，x1x2=

a2(1-b2)

a2+b2

，
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，得：2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴

2a2(1-b2)

a2+b2

-

2a2

a2+b2

+1=0，
整理得：a²+b²-2a²b²=0．…（9分）
∴b²=a²-c²=a²-a²e²，代入上式得
2a²=1+

1

1-e2

，∴a2=

1

2

(1+

1

1-e2

)，…（10分）
∵

1

2

≤e≤

2

2

，
∴

1

4

≤e2≤

1

2

，∴

1

2

≤1-e2≤

3

4

，
∴

4

3

≤

1

1-e2

≤2，∴

7

3

≤1+

1

1-e2

≤3，
∴

7

6

≤a2≤

3

2

适合条件a²+b²＞1．
由此得

42

6

≤a≤

6

2

，∴

42

3

≤2a≤

6

，
故长轴长的最大值为

6

．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用．