Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-2|
（1）求不等式f（x）≤3的解集；
（2）若不等式||a+b|-|a-b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x-1|+|x-2|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．

解答：解：（1）f(x)=

2x-3，x≥2 1，1＜x＜2 3-2x，x≤1

，…（3分）   所以解集[0，3]…（2分）
（2）由||a+b|-|a-b||≤2|a|，…（2分）
得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…（1分）
解得x≤

1

2

或x≥

5

2

   …（2分）

点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题．