(本题满分18分)第(1)小题满分4分,第(2)小题满分8分,第(3)小题满分6分。
定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。
若椭圆,判断
与
是否相似?如果相似,求出
与
的相似比;如果不相似,请说明理由;
写出与椭圆
相似且短半轴长为
的椭圆
的方程;若在椭圆
上存在两点
、
关于直线
对称,求实数
的取值范围?
如图:直线与两个“相似椭圆”
和
分别交于点
和点
,证明:
解:(1)椭圆与
相似。-------------------2分
因为椭圆的特征三角形是腰长为4,底边长为
的等腰三角形,而椭圆
的特征三角形是腰长为2,底边长为
的等腰三角形,因此两个等腰三角形相似,且相似比为
-------------------4分
(2)椭圆的方程为:
-------------------6分
设,点
,
中点为
,
则,所以
-------------------8分
则 -------------------9分
因为中点在直线上,所以有
,
-------------------10分
即直线的方程为:
,
由题意可知,直线与椭圆
有两个不同的交点,
即方程有两个不同的实数解,
所以,即
-------------------12分
(3)证明:
①直线与
轴垂直时,易得线段AB与CD的中点重合,所以
;-------------------14分
②直线不与
轴垂直时,设直线
的方程为:
,
,
线段AB的中点,
-------------------15分
线段AB的中点为
-------------------16分
同理可得线段CD的中点为,-------------------17分
即线段AB与CD的中点重合,所以-------------------18分
科目:高中数学 来源: 题型:
(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
在平行四边形中,已知过点
的直线与线段
分别相交于点
。若
。
(1)求证:与
的关系为
;
(2)设,定义函数
,点列
在函数
的图像上,且数列
是以首项为1,公比为
的等比数列,
为原点,令
,是否存在点
,使得
?若存在,请求出
点坐标;若不存在,请说明理由。
(3)设函数为
上偶函数,当
时
,又函数
图象关于直线
对称, 当方程
在
上有两个不同的实数解时,求实数
的取值范围。
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科目:高中数学 来源:2012届上海市崇明中学高三第一学期期中考试试题数学 题型:解答题
(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
对于数列,如果存在一个正整数
,使得对任意的
(
)都有
成立,那么就把这样一类数列
称作周期为
的周期数列,
的最小值称作数列
的最小正周期,以下简称周期。例如当
时
是周期为
的周期数列,当
时
是周期为
的周期数列。
(1)设数列满足
(
),
(
不同时为0),且数列
是周期为
的周期数列,求常数
的值;
(2)设数列的前
项和为
,且
.
①若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足
(
),
,
,
,数列
的前
项和为
,试问是否存在
,使对任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范围;不存在, 说明理由;
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市高三第一学期期中考试试题数学 题型:解答题
(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分)
对于数列,如果存在一个正整数
,使得对任意的
(
)都有
成立,那么就把这样一类数列
称作周期为
的周期数列,
的最小值称作数列
的最小正周期,以下简称周期。例如当
时
是周期为
的周期数列,当
时
是周期为
的周期数列。
(1)设数列满足
(
),
(
不同时为0),且数列
是周期为
的周期数列,求常数
的值;
(2)设数列的前
项和为
,且
.
①若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断数列
是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足
(
),
,
,
,数列
的前
项和为
,试问是否存在
,使对任意的
都有
成立,若存在,求出
的取值范围;不存在,
说明理由;
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市十三校高三上学期第一次联考试题文科数学 题型:解答题
(本题满分18分,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3小题满分8分)
已知函数,其中
.
(1)当时,设
,
,求
的解析式及定义域;
(2)当,
时,求
的最小值;
(3)设,当
时,
对任意
恒成立,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2010年上海市徐汇区高三第二次模拟考试数学卷(文) 题型:解答题
(本题满分18分;第(1)小题5分,第(2)小题5分,第(3)小题8分)
设数列是等差数列,且公差为
,若数列
中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.
(1)若,求证:该数列是“封闭数列”;
(2)试判断数列是否是“封闭数列”,为什么?
(3)设是数列
的前
项和,若公差
,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使
;若存在,求
的通项公式,若不存在,说明理由.
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