Question

（2006•朝阳区一模）在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（Ⅰ）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（Ⅱ）在XOY平面上，设点列M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点列M_n在直线C上，M_n中最高点为M_k，若称直线C与x轴、直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线C在区间[a，b]上的面积，试求直线C在区间[x₃，x_k]上的面积．

Answer 1

分析：（I）由已知中2S_n+1=a_n（2a_n+1），可得2S_n=2a_n²+a_n-1，且2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，n∈N^*．两式相减后可得a_n+1-a_n=d=

1

2

，即{a_n}是等差数列，求出首项后，易得数列的通项公式及前n项和的公式；
（Ⅱ）由a_n=nx_n，S_n=n²y_n，结合（I）中结论求出x_n，y_n，进而求出点列M_n上点的坐标及所在直线的方程，进而求出所求平面区域的面积．

解答：解：（I）∵2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
∴2S_n=2a_n²+a_n-1，n∈N^*．…①
故2S_n+1=2a_n+1²+a_n+1-1，n∈N^*．…②
②-①得：2a_n+1=2a_n+1²-2a_n²+a_n+1-a_n
结合a_n＞0，得a_n+1-a_n=d=

1

2

∴{a_n}是等差数列…（4分）
又n=1时，2a₁+1=a₁（2a₁+1），解得a₁=1或a₁=-

1

2

（舍去）．
又d=

1

2

，故a_n=

n+1

2

，
∴S_n=

1

4

n2+

3

4

n…（7分）
（II）∵a_n=nx_n，S_n=n²y_n，
∴x_n=

n+1

2n

，y_n=

n+3

4n

即得点M_n（

n+1

2n

，

n+3

4n

）
设x=

n+1

2n

，y=

n+3

4n

，消去n，得3x-2y-1=0
即直线C的方程为3x-2y-1=0…（11分）
又y=

n+3

4n

是在n为正整数时为减函数
∴M₁为M_n中的最高点，且M₁（1，1）．又M₃的坐标为（

2

3

，

1

2

）
∴C与x轴、直线x=

2

3

，x=1围成的图形为直角梯形，从而直线C在[

2

3

，1]上的面积为
S=

1

2

×（

1

2

+1）×（1-

2

3

）=

1

4

  …（14分）

点评：本题是数列与解析几何的综合，数列递推式求通项及前n项公式，是数列的综合应用，难度较大．