Question

7．已知递增数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足$2{S_n}=a_n^2+n$．
（I）求a_n；
（II）设${b_n}={a_{n+1}}•{2^n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知条件推导出（a_n+a_n-1-1）（a_n-a_n-1-1）=0，从而得到数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=（n+1）•2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，$2{S_1}=a_1^2+1$，解得a₁=1；
当n≥2时，由$2{S_n}=a_n^2+n$，得$2{S_{n-1}}=a_{n-1}^2+n-1$，
两式相减，得$2（{{S_n}-{S_{n-1}}}）=a_n^2-a_{n-1}^2+1$，
即${（{{a_n}-1}）^2}-a_{n-1}^2=0$，即（a_n+a_n-1-1）（a_n-a_n-1-1）=0
∵数列{a_n}为递增数列，∴a_n+a_n-1-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为1的等差数列，故a_n=n，
（Ⅱ）${b_n}=（n+1）{2^n}$，${T_n}=2•{2^{1}}+3•{2^2}+…+（{n+1}）•{2^n}$，
T_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-${T_n}=4+（{{2^2}+{2^3}+…+{2^n}}）-（{n+1}）•{2^{n+1}}$=$4+\frac{{4（{1-{2^{n-1}}}）}}{1-2}-（{n+1}）•{2^{n+1}}$=-n•2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}$，n∈N^*．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．