Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记 =λ． 当λ= 时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为 ．

（1）求AB的长；
（2）当 时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．

如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系Axyz，

则D（0，2，0），E（0，1， ）， =（0，1， ）．

设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0）， =（m，2，0）．

设 =（x，y，z）为平面ACE的法向量，

则 ，取z=2，得 =（ ，﹣1，2）．

又 =（1，0，0）为平面DAE的法向量，

∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为 ，

∴由题设知|cos＜ ＞|= ，即 ，

解得m=1，即AB=1

（2）解： ，

∴ ，

，

，

∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为 ．

【解析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出AB．（2）分别求出 ， ，利用向量法能求出异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用异面直线及其所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．