【题目】已知等比数列中, , 成等差数列;数列中的前项和为, .
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1) ,;(2) .
【解析】试题分析:(1)根据, 成等差数列列出关于首项 ,公比 的方程组,解得、的值,即可得到数列的通项公式,当时, ,( 也适合);(2)由(1)知根据等比数列的求和公式和裂项相消求和以及分组即可求出数列的前项和.
试题解析:(1)设等比数列的公比为;
因为成等差数列,故
,
即,故;
因为,即.
因为,故当时, .
当时, ;
综上所述.
(2)由(1)知;
故数列的前项和为
.
【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1) ;(2) ; (3);(4) ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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【题目】“砥砺奋进的五年”,首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来,北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需,促进消费等政策的出台,居民消费支出全面增长,消费结构持续优化升级,城乡居民人均可支配收入快速增长,人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图(例如2012年,北京城镇居民收入实际增速为,农村居民收入实际增速为).
(1)从2012-2016五年中任选一年,求城镇居民收入实际增速大于的概率;
(2)从2012-2016五年中任选两年,求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过的概率;
(3)由图判断,从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大?(结论不要求证明)
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【题目】如图,三棱柱中, 平面, .过的平面交于点,交于点.
(l)求证: 平面;
(Ⅱ)求证: ;
(Ⅲ)记四棱锥的体积为,三棱柱的体积为.若,求的值.
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【题目】在直角坐标系中, ,动点满足:以为直径的圆与轴相切.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设点的轨迹为曲线,直线过点且与交于两点,当与的面积之和取得最小值时,求直线的方程.
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【题目】已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为.
(1)求动圆的圆心点的轨迹方程;
(2)过点的动直线与曲线交于两点,平面内是否存在定点,使得直线分别交于两点,使得直线的斜率,满足?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】设函数,其中为自然对数的底数.
(1)若曲线在轴上的截距为,且在点处的切线垂直于直线,求实数的值;
(2)记的导函数为, 在区间上的最小值为,求的最大值.
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