Question

（理科）已知各项都为正数的数列{a_n}满足a₁=1，S_n=a_na_n+1（n∈N⁺），其中Sn是数列{a_n}的前n项的和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）已知p（≥2）是给定的某个正整数，数列{b_n}满足b_n=1，=
（k=1，2，3…，p-1），求b_k；
（3）化简b₁+b₂+b₃+…+b_p．

Answer 1

【答案】分析：（1）由可得，两式相减，可求得a_n．
（2）由（1）已求得a_n=n，==，b₁=1，可以求得b₂，b₃，…用归纳法可求得b_k；
（3）可得b₁+b₂+…+b_p的式子，然后利用组合数的性质可以解决问题．
解答：解：（1）∵，（n∈N^*），
∴．
∴a_n=a_n（a_n+1-a_n-1），即a_n+1-a_n-1=2（n≥2）．
∴a₂，a₄，a₆，…a_2n是首项为a₂，公差为2的等差数列；
 a₁，a₃，…a_2n-1是首项为a₁，公差为2的等差数列．
又，可得a₂=2．
∴a_2n=2n，a_2n-1=2n-1（n∈N^*）．
所以，所求数列的通项公式为：a_n=n．
（2）∵p是给定的正整数（p≥2），
=（k=1，2，3，…p-1），
∴数列{b_k}是项数为p项的有穷数列．
b₁=1，=（k=1，2，3，…p-1），
∴b₂=（-1），b₃=（-1）²，b₄=（-1）³，…，
 归纳可得．
（3）由（2）可知，
 进一步可化为．
所以，b₁+b₂+b₃+…+b_p-1+b_p
=
=
=
=．
点评：本题考查数列的递推关系，考查归纳法，解决的难点在于归纳法的选择与灵活应用，特别是第（3）问中，组合数性质的转化与运用更是难点，属于难题．