【题目】已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧, =2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2
B.3
C.
D.
【答案】B
【解析】解:设直线AB的方程为:x=ty+m,点A(x1 , y1),B(x2 , y2),
直线AB与x轴的交点为M(m,0),
由 y2﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有y1y2=﹣m,
∵ =2,∴x1x2+y1y2=2,
结合 及 ,得 ,
∵点A,B位于x轴的两侧,∴y1y2=﹣2,故m=2.
不妨令点A在x轴上方,则y1>0,又 ,
∴S△ABO+S△AFO= = ×2×(y1﹣y2)+ × y1 ,
= .
当且仅当 ,即 时,取“=”号,
∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3,故选B.
可先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及 =2消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于,两点(,不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且.直线与轴、轴分别交于,两点.设直线,的斜率分别为,,证明存在常数使得,并求出的值.
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【题目】设函数f(x)= (x>0),数列{an}满足 (n∈N* , 且n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设Tn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+(﹣1)n﹣1anan+1 , 若Tn≥tn2对n∈N*恒成立,求实数t的取值范围;
(3)是否存在以a1为首项,公比为q(0<q<5,q∈N*)的数列{a },k∈N* , 使得数列{a }中每一项都是数列{an}中不同的项,若存在,求出所有满足条件的数列{nk}的通项公式;若不存在,说明理由.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin2C= cosC,其中C为锐角.
(1)求角C的大小;
(2)a=1,b=4,求边c的长.
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【题目】某单位共有10名员工,他们某年的收入如下表:
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪(万元) | 4 | 4.5 | 6 | 5 | 6.5 | 7.5 | 8 | 8.5 | 9 | 51 |
(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数;
(2)从该单位中任取2人,此2人中年薪收入高于7万的人数记为,求的分布列和期望;
(3)已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系,某员工工作第一年至第四年的年薪分别为4万元,5.5万元,6万元,8.5万元,预测该员工第五年的年薪为多少?
附:线性回归方程中系数计算公式分别为:
, ,其中为样本均值.
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【题目】某地区上年度电价为0.8元/kWh,年用电量为akWh,本年度计划将电价降到0.55 元/kWh至0.75元/kWh之间,而用户期待电价为0.4元/kWh,下调电价后新增加的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K),该地区的电力成本为0.3元/kWh.(注:收益=实际用电量×(实际电价﹣成本价)),示例:若实际电价为0.6元/kWh,则下调电价后新增加的用电量为 元/kWh)
(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系;
(2)设K=0.2a,当电价最低为多少仍可保证电力部门的收益比上一年至少增长20%?
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【题目】命题p:x∈R,ax2+ax﹣1<0,命题q: +1<0.
(1)若“p或q”为假命题,求实数a的取值范围;
(2)若“非q”是“α∈[m,m+1]”的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,线段DD′⊥α于D′,如果∠DBD=30°,AB=AC=BD=1,则CD的长为
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