Question

如下图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AC＝3，BC＝4，AA₁＝4，AB=5,点D是AB的中点，

（1）求证：AC₁∥平面CDB₁；

（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

思路解析：本题第一问要证明直线与平面平行,可以围绕着线面平行的判定定理,转而去证明线线平行,结合已知条件不难得以证明;第二问是要求异面直线所成的角,就要考虑平移其中一条（或两条）直线,从而转化为相交两直线所成的角的问题,从而得以求解.

(1)证明：设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE.

∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁,AC₁平面CDB₁,

∴AC₁∥平面CDB₁.

（2）解：∵DE∥AC₁,∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角.

在△CED中，ED=AC₁=,CD=AB=，CE=CB₁=2,

∴由余弦定理得

cos∠CED=.

∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为.