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3.在△ABC中,A=2B,且3sinC=5sinB,则cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

分析 由已知及两角和正弦函数公式,倍角公式可得sinC=2sinBcos2B+(2cos2B-1)sinB,结合已知可得6cos2B+3(2cos2B-1)=5,即可解得cosB的值.

解答 解:∵A=2B,A+B+C=π,可得:C=π-3B,
∴sinC=sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+(2cos2B-1)sinB,
∵3sinC=5sinB,
∴6sinBcos2B+3(2cos2B-1)sinB=5sinB,
∵sinB≠0,
∴解得:6cos2B+3(2cos2B-1)=5,解得:cos2B=$\frac{2}{3}$,
∵A=2B,B为锐角,
∴cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,考查了一元二次方程的解法,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

练习册系列答案
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9.设数列{an}的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.求{an}的通项公式.

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14.在长方形ABCD中,AE=EB,三角形BEF的面积占长方形ABCD面积的$\frac{3}{16}$,那么BF:FC=3:1.

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11.对于任意的n∈N*,若数列{an}同时满足下列两个条件,则称数列{an}具有“性质m”:
①$\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{2}<{a_{n+1}}$;          
②存在实数M,使得an≤M成立.
(1)数列{an}、{bn}中,an=n(n∈N*)、${b_n}=1-\frac{1}{n^2}$(n∈N*),判断{an}、{bn}是否具有“性质m”;
(2)若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn,且${c_3}=\frac{1}{4}$,${S_3}=\frac{7}{4}$,证明:数列{Sn}具有“性质m”,并指出M的取值范围;
(3)若数列{dn}的通项公式${d_n}=\frac{{t\;(3•{2^n}-n)+1}}{2^n}$(n∈N*).对于任意的n≥3(n∈N*),数列{dn}具有“性质m”,且对满足条件的M的最小值M0=9,求整数t的值.

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18.已知正三棱柱(底面是正三角形,侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱AA1=2,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$.

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8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若$20a•\overrightarrow{BC}+15b•\overrightarrow{CA}+12c•\overrightarrow{AB}=\vec 0$,则△ABC的最小角等于$arccos\frac{4}{5}$.

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15.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,$\frac{sinA}{a}$=$\frac{\sqrt{3}cosB}{b}$.
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)求sinAcosC的取值范围.

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12.如图,在平面直角坐标系xoy中,椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1,直线l与x轴交于点E,与椭圆C交于A,B两点.
(1)若点E的坐标为$({\frac{{\sqrt{3}}}{2},0})$,点A在第一象限且横坐标为$\sqrt{3}$,连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P,求△PAB的面积;
(2)是否存在点E,使得$\frac{1}{{E{A^2}}}+\frac{1}{{E{B^2}}}$为定值?若存在,请指出点E的坐标,并求出该定值;若不存在,请说明理由.

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13.函数y=loga(x+1)+2(a>0且a≠1)恒过定点A,则A的坐标为(0,2).

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