Question

10．如图，四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为$\sqrt{5}$的等腰三角形，E、F分别为AB、VC的中点．
（1）求证：EF∥平面VAD；
（2）求二面角V-AB-C的大小．

Answer 1

分析 （1）取VD中点M，连结AM、MF，推导出四边形AEFM是平行四边形，从而EF∥AM，由此能证明EF∥平面VAD．
（2）取CD中点N，则EN⊥AB，连结VE，VN，则VE⊥AB，∠VEN是二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的大小．

解答 证明：（1）取VD中点M，连结AM、MF，
∵M、F分别是VD、VC中点，
∴MF∥AB，且$MF=\frac{1}{2}AB=AE$，（2分）
∴四边形AEFM是平行四边形，∴EF∥AM（4分）
又AM?平面VAD，EF?平面VAD，
∴EF∥平面VAD．（6分）
解：（2）取CD中点N，则EN⊥AB，
连结VE，VN，∵VA=VB，E是AB中点，
∴VE⊥AB，（8分）
∴∠VEN是二面角V-AB-C的平面角，（10分）
∴VE=VN=2，EN=AD=2，
∴∠VEN=60°
即二面角V-AB-C的大小为60°．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．