Question

15．如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB、AC、AD都在平面α的同侧．若顶点B，C到平面α的距离分别为1，$\sqrt{2}$．建立如图所示的空间直角坐标系，设平面α的一个法向量为（x₁，y₁，z₁），顶点D到平面α的距离为h．若x₁=1，则y₁+z₁+h=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 在正方体的8个顶点中，有关系的只有4个（其他顶点可不予理会），这4点组成直角四面体，这是解题的关键，
所以最终归结为：已知直角四面体的3个顶点A，B，C到平面α的距离依次为0，1，$\sqrt{2}$由此求出顶点D到平面α的距离和平面α的法向量．

解答 解：如图所示，

连结BC、CD、BD，则四面体A-BCD为直角四面体；
作平面α的法线AH，作BB₁⊥平面α于B₁，CC₁⊥平面α于C₁，DD₁⊥平面α于D₁；
连结AB₁，AC₁，AD₁，令AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，
由等体积可得$\frac{1}{{h}^{2}}$=$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$，
令∠BAB₁=α，∠CAC₁=γ，∠DAD₁=β，
可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，
设DD₁=m，∵BB₁=1，CC₁=$\sqrt{2}$
∴$（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}$=1，
解得m=$\sqrt{6}$；即所求点D到平面α的距离为$\sqrt{6}$．
又α的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁）=（hcos（$\frac{π}{2}$-α），hcos（$\frac{π}{2}$-γ），hcos（$\frac{π}{2}$-β））=（hsinα，hsinγ，hsinβ），
由hsinα=1，得hsinγ=$\sqrt{2}$，hsinβ=$\sqrt{6}$
∴$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）．
∴y₁+z₁+h=$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．
故答案为$\sqrt{2}$+2$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于创新题，难度大．