Question

6．给出下列命题：
①若数列{a_n}为等差数列，S_n为其前n项和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列；
②若数列{a_n}为等比数列，S_n为其前n项和，则S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等比数列；
③若数列{a_n}，{b_n}均为等差数列，则数列{a_n+b_n}为等差数列；
④若数列{a_n}，{b_n}均为等比数列，则数列{a_n•b_n}为等比数列
其中真命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，即可判断出结论．
②取数列-1，1，-1，1，…，S_n可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；
③设a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，则a_n+b_n=（a₁+b₁）+（n-1）（d₁+d₂），即可判断出结论．
④设a_n=a₁${q}_{1}^{n-1}$，b_n=b₁${q}_{2}^{n-1}$，则a_n•b_n=a₁b₁$（{q}_{1}{q}_{2}）^{n-1}$，即可判断出结论．

解答 解：①设等差数列a_n的首项为a₁，公差为d，则S_n=a₁+a₂+…+a_n，S_2n-S_n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n=a₁+nd+a₂+nd+…+a_n+nd=S_n+n²d，同理：S_3n-S_2n=a_2n+1+a_2n+2+…+a_3n=a_n+1+a_n+2+…+a_2n+n²d=S_2n-S_n+n²d，∴2（S_2n-S_n）=S_n+（S_3n-S_2n），∴S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n是等差数列．正确．
②取数列-1，1，-1，1，…，S_n可能为0，因此不成等比数列，不正确；
③设a_n=a₁+（n-1）d₁，b_n=b₁+（n-1）d₂，则a_n+b_n=（a₁+b₁）+（n-1）（d₁+d₂），故数列{a_n+b_n}为等差数列，正确．
④设a_n=a₁${q}_{1}^{n-1}$，b_n=b₁${q}_{2}^{n-1}$，则a_n•b_n=a₁b₁$（{q}_{1}{q}_{2}）^{n-1}$，因此数列{a_n•b_n}为等比数列，正确．
其中真命题的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义及通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．