Question

（2013•镇江二模）已知a为正的常数，若不等式

1+x

≥1+

x

2

-

x2

a

对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为

8

．

Answer 1

分析：依题意，可将a分离出来，构造函数，f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0），利用该函数的单调递增的性质求其最小值，即可求得a的最大值．

解答：解：∵a＞0，x≥0，

1+x

≥1+

x

2

-

x2

a

，
∴

x2

a

≥1+

x

2

-

1+x

=

(1+ x 2 - 1+x )(1+ x 2 + 1+x )

(1+ x 2 + 1+x )

=

x2 4

(1+ x 2 + 1+x )

=

x2

4(1+ x 2 + 1+x )

，
∴0＜a≤4（1+

x

2

+

1+x

）对一切非负实数x恒成立．
令f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0），则0＜a≤f（x）_min．
∵f′（x）=4（

1

2

+

1

2 1+x

）＞0，
∴f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x≥0）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=8．
∴0＜a≤8．
故a的最大值为8．
故答案为：8．

点评：本题考查函数恒成立问题，分离参数a，构造函数f（x）=4（1+

x

2

+

1+x

）（x＞0）是关键，也是难点，考查创新思维与转化思想，属于难题．