Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，离心率为e=，以F₁为圆心，|F₁F₂|为半径的圆与直线x-y-3=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点S（0，-）且斜率为k的直线交椭圆C于点A，B，证明无论k取何值，以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）．

Answer 1

解：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则由已知得，
解得c=1．
∵，∴，∴b²=1，
∴椭圆C的方程为．
（II）由已知直线AB：，代入，得，
整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
∵，
∴
=（1+k²）=0，∴．∴以AB为直径的圆恒过定点D（0，1）．
分析：（I）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则由已知得，得c=1．再由能导出椭圆C的方程．
（II）由已知直线AB：，代入，得，整理，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，再由韦达定理进行求解．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用．