Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=6，S₄=20，求和：$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$．

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a₁，d．即可得出a_n．再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=6，S₄=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=20}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．