Question

已知函数f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a，且当x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为2．
（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的

1

2

，再将所得图象向右平移

π

12

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，

π

2

]上所有根之和．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，由题意易得-1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调区间；
（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+3，可得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，解方程可得x=

π

12

或x=

π

4

，相加即可．

解答： 解：（1）化简可得f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+a
=cos2x+1+

3

sin2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴f（x）的最小值为-1+a+1=2，解得a=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，（k∈Z）；

（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x-

π

6

）+3，
由g（x）=4可得sin（4x-

π

6

）=

1

2

，
∴4x-

π

6

=2kπ+

π

6

或4x-

π

6

=2kπ+

5π

6

，
解得x=

kπ

2

+

π

12

或x=

kπ

2

+

π

4

，（k∈Z），
∵x∈[0，

π

2

]，
∴x=

π

12

或x=

π

4

，
∴所有根之和为

π

12

+

π

4

=

π

3

．

点评：本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．