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【题目】如图, 是边长为3的正方形,平面,BE与平面所成角为

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求二面角的余弦值;

(Ⅲ)设点M在线段BD上,且平面BEF,求的长.

【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)

【解析】

()利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;

()建立空间直角坐标系,利用平面的法向量可得二面角的余弦值;

()结合()中的结果和空间向量的结论求得点M的坐标即可求得的长.

(Ⅰ)因为平面,所以

因为是正方形,所以

BDDE交于点E,从而平面

(Ⅱ)因为DADCDE两两垂直,所以建立空间直角坐标系如图所示.

因为BE与平面所成角为,即

所以.由可知

所以

设平面BEF的法向量为,则

,令,则

因为平面,所以为平面的法向量,

所以

因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为

(Ⅲ)点M是线段BD上一个动点,设.则

因为平面BEF,所以

,解得

此时,点M坐标为,符合题意.

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