Question

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b_n}的第二、三、四项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）令数列{c_n}满足：c_n=

(an(n为奇数)) (bn(n为偶数)

，求数列{c_n}的前101项之和T₁₀₁；
（3）设数列{c_n}对任意n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

(cn)

(bn)

=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0），
解得d，a₁，代入等差数列的通项公式可求a_n，进而可求b₂=3，b₃=9，q=3，b₁=1，b_n=3^n-1
（2）运用分组求和，分别用等差数列、等比数列的前n项和代入可求数列{C_n}的前101项的和
（3）由

c1

b1

+ 

c2

b2

+…+

cn

bn

= 2n-1
       

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=2n-3
两式相减可得c_n，然后代入等比数列的求和公式可求c₁+c₂+…+c₂₀₁₀的值．

解答：解：（1）由题意得：（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）
解得d=2，∴a_n=2n-1．∴b₂=a₂=3，b₃=a₅=9∴b_n=3^n-1
（2）∵a₁₀₁=201，b₂=3
∴T₁₀₁=（a₁+a₃…+a₁₀₁）+（b₂+b₄+…+b₁₀₀）
=

51(a1+a101)

2

+

3(1-950)

1-9

=5151+

3(950-1)

8

（3）当n≥2时，由

(cn)

(bn)

=

c1

b1

+

c2

b2

+…+

(cn)

(bn)

-（

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

）=a_n+1-a_n=2

cn

bn

= (

c1

b1

+ 

c2

b2

+ …+ 

cn

bn

)-(

c1

b1

+…+

cn-1

bn-1

)
得c_n=2b_n=2•3ⁿ-¹，
当n=1时，

c1

b1

=a₂=3，c₁=3．
故c_n=

3，n=1 2•3n-1，n≥2

故c₁+c₂+…+c₂₀₁₀=3+2×3+2×3²++2×3²⁰⁰⁹=3²⁰¹⁰．

点评：本题是数列的综合试题，综合考查了由基本量求等差数列、等比数列的通项公式、求和公式，的求解，分组求和及由和求项的方法，综合性较强．