Question

已知函数的一系列对应值如下表：

x
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根据表格提供的数据求函数y=f（x）的解析式；
（2）（文）当x∈[0，2π]时，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若对任意的实数a，函数y=f（kx）（k＞0），的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，又当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中表格中提供的数据，我们可以判断出函数的最值及周期，进而A，B与最值的关系，ω与周期的关系，确定出A，B，ω的值，代入最大值点的坐标后，即可求出φ的值，进而得到函数的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我们可以构造出一个三角方程，根据正弦函数的性质及已知中x∈[0，2π]，可求出对应的x值，得到答案．
（3）若函数y=f（kx）（k＞0），的图象与直线y=1有且仅有两个不同的交点，则函数的周期为，又由当时，方程f（kx）=m恰有两个不同的解，我们可以构造出一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围．
解答：解：（1）依题意，，∴ω=1（2分）
又，解得（5分）
，解得（7分）
∴为所求．（8分）
（2）文：由f（x）=2B，得（10分）
∵x∈[0，2π]，∴（12分）
∴或，即为所求．（14分）
（3）理：由已知条件可知，函数的周期为，
又k＞0，∴k=3（10分）
令，∵，
∴
而sint在上单调递增，在上单调递减，且，
如图∴sint=s在上有两个不同的解的充要条件是，（12分）
∴方程f（x）=m恰有两个不同的解的充要条件是．（14分）
（注：单调区间写成、也行；直接数形结合得到正确结果，也可）
点评：本题考查的知识点是正弦型函数解析式的求法，三角方程的解法，正弦函数的图象和性质，其中（1）的关键是熟练掌握正弦型函数解析式中参数与函数性质的关系，（2）的关键是熟练掌握正弦型函数的性质，（3）的关键是将已知，结合正弦函数的性质，转化为一个关于m的不等式．