Question

5．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=1和两点A（-m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．

Answer 1

分析 C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），由已知得m²=a²+b²=|OP|²，m的最值即为|OP|的最值，可得结论．

解答 解：圆C：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），
若∠APB=90°，则$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BP}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BP}$=（a+m）（a-m）+b²=0，
∴m²=a²+b²=|OP|²，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5-1=4，
∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．
故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．

点评 本题考查实数的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．