Question

已知数列{an}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{bn}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．

(1)若a5＝b5，q＝3，求数列{an·bn}的前n项和；

(2)若存在正整数k(k≥2)，使得ak＝bk.试比较an与bn的大小，并说明理由．．

 

Answer 1

（1）Sn＝（2）当1＜n＜k时，an＜bn；当n＞k时，an＞bn；当n＝1，k时，an＝bn.

【解析】审题引导：①等差数列与等比数列对应项的积错位相减求和；②作差比较．

规范解答：【解析】
(1)依题意，a5＝b5＝b1q5－1＝1×34＝81，故d＝＝20，

所以an＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)

令Sn＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n－19)·3n－1，①

则3Sn＝1×3＋21×32＋…＋(20n－39)·3n－1＋(20n－19)·3n，②

①－②，得－2Sn＝1＋20×(3＋32＋…＋3n－1)－(20n－19)·3n＝1＋20×－(20n－19)·3n＝(29－20n)·3n－29，所以Sn＝.(7分)

(2)因为ak＝bk，所以1＋(k－1)d＝qk－1，即d＝，

故an＝1＋(n－1).又bn＝qn－1，(9分)所以bn－an＝qn－1－

＝[(k－1)(qn－1－1)－(n－1)(qk－1－1)]

＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]．(11分)

(ⅰ)当1＜n＜k时，由q＞1知

bn－an＝[(k－n)(qn－2＋qn－3＋…＋q＋1)－(n－1)(qk－2＋qk－3＋…＋qn－1)]

＜[(k－n)(n－1)qn－2－(n－1)(k－n)qn－1]＝－

＜0；(13分)

(ⅱ)当n＞k时，由q＞1知

bn－an＝[(k－1)(qn－2＋qn－3＋…＋qk－1)－(n－k)(qk－2＋qk－3＋…＋q＋1)]

＞[(k－1)(n－k)qk－1－(n－k)(k－1)qk－2]

＝(q－1)2qk－2(n－k)

＞0，(15分)

综上所述，当1＜n＜k时，an＜bn；当n＞k时，an＞bn；当n＝1，k时，an＝bn.(16分)

(注：仅给出“1＜n＜k时，an＜bn；n＞k时，an＞bn”得2分)

错因分析：错位相减时项数容易搞错，作差比较后学生不能灵活倒用等比数列求和公式1－qn＝(1－q)(1＋q＋q2＋…＋qn－1)