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如图,四边形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直线AM与直线PC所成的角为60°.

(1)求证:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求点B到平面MAC的距离.
(1)详见解析;(2);(3)

试题分析:(1)先根据线面垂直的判定定理证PC⊥平面ABC,即可证得PC⊥AC。(2)用空间向量法求二面角。先过C作BC的垂线,建立空间直角坐标系,再求各点的坐标,和各向量的坐标,再根据向量垂直的数量积公式求面的法向量,但需注意两法向量所成的角和二面角相等或互补。(3)在(2)中已求出面的一个法向量,根据可求其距离。
试题解析:解:(1)证明:∵PC⊥BC,PC⊥AB,∴PC⊥平面ABC,∵∴PC⊥AC.      2分
(2)在平面ABC内,过C作BC的垂线,并建立空间直角坐标系如图所示.

设P(0,0,z),则


且z>0,∴,得z=1,∴
设平面MAC的一个法向量为=(x,y,1),则由
    ∴
平面ABC的一个法向量为

显然,二面角M﹣AC﹣B为锐二面角,∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为.    8分
(3)点B到平面MAC的距离.           12分
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