Question

已知曲线C上的动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离大1．
（I）求曲线C的方程；
（II）过点F（2，0）且倾斜角为α(0＜α＜

π

2

)的直线与曲线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：|FP|-|FP|•cos2α为定值，并求出此定值．

Answer 1

分析：（I）设动点P（x，y），根据动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离多1，可得动点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x=-2的距离，由此建立方程，即可求得曲线C的方程；
（II）如图，作AC⊥l，BD⊥l，设A，B的横坐标分别为x_A，x_B，计算|FA|=

4

1-cosα

，|FB|=

4

1+cosα

，记m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=

4cosα

sin2α

，从而|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

，由此可得结论．

解答：（I）解：设动点P（x，y），动点P到点F（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离多1，即动点P到点F（2，0）的距离等于它到直线x=-2的距离
∴

(x-2)2+y2

=|x+2|
两边平方（x-2）²+y²=（x+2）²
化简可得：y²=8x
（II）证明：如图，作AC⊥l，BD⊥l，设A，B的横坐标分别为x_A，x_B
则|FA|=|AC|=xA+

p

2

=|FA|cosα+4，解得|FA|=

4

1-cosα

同理|FB|=4-|FB|cosα，解得|FB|=

4

1+cosα

记m与AB的交点为E，则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-

1

2

|AB|=

1

2

(

4

1-cosα

-

4

1+cosα

)=

4cosα

sin2α

∴|FP|=

|FE|

cosα

=

4

sin2α

故|FP|-|FP|•cos2α=

4

sin2α

(1-cos2α)=8
即FP|-|FP|•cos2α为定值，定值为8．

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线定义的运用，解题的关键是确定曲线的方程．