Question

【题目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞ ﹣ 成立．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=lnx+1， 当x∈（0， ），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
① ，即0＜t＜ 时，f（x）min= ，f（x）min=f（t）=tlnt
② ，即t 时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，
∴
（Ⅱ）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则 ，
设h（x）=2lnx+x+ ，x＞0，则h′（x）= ，
①x∈（0，1），h′（x）＜0，h（x）单调递减，
②x∈（1，+∞），h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4，对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
∴a≤4．
（Ⅲ）问题等价于证明xlnx＞ ，
由（Ⅰ）可知f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是- ，当且仅当x= 时取到，
设m（x）=xlnx＞ ，则 ，
易知 ，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有都有lnx＞ ﹣ 成立
【解析】（Ⅰ）求函数f（x）在某区间的最小值，先求该函数的导函数，再判断单调性，因为t是参数，要进行分类讨论；（Ⅱ）求实数a的取值范围，2f（x）≥g（x）恒成立，就是求函数的最值问题，（Ⅲ）本题设m（x）=xlnx＞ ，也是求m（x）=xlnx的最值问题．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．