Question

已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.

(Ⅰ)证明:│c│≤l;

(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;

(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).

Answer 1

 (Ⅰ)证明:由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得

│c│=│f(0)│≤1,

即│c│≤1.                                                 

(Ⅱ)证法一:

当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,

∴g(-1)≤g(x)≤g(1),

∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,

g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥－2,

由此得│g(x)│≤2;                                                       

当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,

∴g(-1)≥g(x)≥g(1),

∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,

g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,

由此得│g(x)│≤2;                                                        

当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.

∵-1≤x≤1,

∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.

综上得│g(x)│≤2. 

证法二：

由可得

=

=

当时，有

                                                                    

根据含绝对值的不等式的性质,得

即│g(x)│≤2.                   

(Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,

即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①

∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,

∴c=f(0)=-1.                                

因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得

即.

由①   得a=2.

所以   f(x)=2x²-1.