Question

某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-

1

2

x²（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润y表示为年产量x的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？
（3）年产量多少时，企业才不亏本？

Answer 1

分析：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，而总成本C（x）=固定成本（5000）+生产消耗成本（每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元）；（2）求利润y表示为年产量x的函数的最大值；（3）企业才不亏本是指利润非负，即解不等式y≥0，求得x的值．

解答：解：（1）由题意，当x≤5时，产品能全部售出，
当x＞5时，只能销售500台，
所以y=

5x-0.5x2-(0.5+0.25x)     0≤x≤5 (5×5-0.5×52)-(0.5+0.25x)  x＞5

=

4.75x-0.5x2-0.5    (0≤x≤5) 12-0.25x               (x＞5)

（2）在0≤x≤5时，y=-0.5x²+4.75x-0.5，
当x=-

b

2a

=4.75（百台）时，y_max=10.78125（万元），
当x＞5（百台）时，
y＜12-0.25×5=10.75（万元），
所以当生产475台时，利润最大．
（3）要使企业不亏本，即要求0≤x≤5，-0.5x²+4.75x-0.5≥0或x＞5，12-0.25x≥0
解得5≥x≥4.75-

21.5625

≈0.1（百台）或5＜x≤48（百台）时，
即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．

点评：考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，在解模的过程中应用了函数的单调性求最值，和借助于三角函数的有界性放缩不等式，属中档题．