分析 (1)先求出函数φ(x)的导数,从而求出函数的单调区间;
(2)问题转化为a>$\frac{x-1}{lnx}$,令g(x)=$\frac{x-1}{lnx}$(1<x<e),通过讨论g(x)的单调性,从而求出a的范围.
解答 解:(1)由φ(x)=f(x)-a(1-$\frac{1}{x}$)=alnx+1+$\frac{a}{x}$-a,(x>0),知φ′(x)=$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{x2}$.…(2分)
由φ′(x)≥0,得x≥1,由φ′(x)≤0,得0<x≤1,
又a>0,所以,函数的单调递增区间为[1,+∞);递减区间为(0,1].…(4分)
(2)由f(x)>x得aln x+1>x,即a>$\frac{x-1}{lnx}$.…(5分)
令g(x)=$\frac{x-1}{lnx}$(1<x<e),则g′(x)=$\frac{lnx-\frac{x-1}{x}}{{(lnx)}^{2}}$.…(6分)
令h(x)=ln x-$\frac{x-1}{x}$(1<x<e),…(7分)
则h′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x2}$>0,故h(x)在定义域上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0.…(9分)
因为h(x)>0,所以g′(x)>0,即g(x)在定义域上单调递增,
则g(x)<g(e)=e-1,即$\frac{x-1}{lnx}$<e-1,…(11分)
所以a的取值范围为[e-1,+∞).…(12分)
点评 本题考查了函数的单调性问题,考查函数恒成立问题,考查导数的应用,是一道中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | c<a<b | B. | b<c<a | C. | b<a<c | D. | c<b<a |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (1,-1) | B. | (-1,1) | C. | (0,1) | D. | (0,-1) |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B. | $\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 0<b<1 | B. | 0<b<2 | C. | -1<b<1 | D. | -1<b<2 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{\sqrt{17}}{3}$ | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | $\frac{1}{3}$ | D. | $\frac{\sqrt{17}}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{3π}{4}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{2π}{3}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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