Question

4．已知函数f（x）=aln x+1（a＞0）．
（1）求函数φ（x）=f（x）-a（1-$\frac{1}{x}$）单调区间；
（2）在区间（1，e）上f（x）＞x恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数φ（x）的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为a＞$\frac{x-1}{lnx}$，令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$（1＜x＜e），通过讨论g（x）的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）由φ（x）=f（x）-a（1-$\frac{1}{x}$）=alnx+1+$\frac{a}{x}$-a，（x＞0），知φ′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{x2}$．…（2分）
由φ′（x）≥0，得x≥1，由φ′（x）≤0，得0＜x≤1，
又a＞0，所以，函数的单调递增区间为[1，+∞）；递减区间为（0，1]．…（4分）
（2）由f（x）＞x得aln x+1＞x，即a＞$\frac{x-1}{lnx}$．…（5分）
令g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$（1＜x＜e），则g′（x）=$\frac{lnx-\frac{x-1}{x}}{{（lnx）}^{2}}$．…（6分）
令h（x）=ln x-$\frac{x-1}{x}$（1＜x＜e），…（7分）
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x2}$＞0，故h（x）在定义域上单调递增，
所以h（x）＞h（1）=0．…（9分）
因为h（x）＞0，所以g′（x）＞0，即g（x）在定义域上单调递增，
则g（x）＜g（e）=e-1，即$\frac{x-1}{lnx}$＜e-1，…（11分）
所以a的取值范围为[e-1，+∞）．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．