Question

10．下列函数中既是增函数又是奇函数的是（　　）

• A． f（x）=x³（x∈（0，+∞））
• B． f（x）=sinx
• C． f（x）=$\frac{lnx}{x}$
• D． f（x）=x|x|

Answer 1

分析 根据奇函数的定义域的对称性，正弦函数在R上的单调性，以及含绝对值函数的处理方法，二次函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

解答 解：A．f（x）的定义域为（0，+∞），不关于原点对称；
∴该函数不是奇函数，∴该选项错误；
B．正弦函数f（x）=sinx在定义域R上没有单调性；
∴该选项错误；
C．该函数定义域为{x|x＞0}，不关于原点对称，不是奇函数；
∴该选项错误；
D．该函数定义域为R，且f（-x）=-x|x|=-f（x）；
∴该函数为奇函数；
$f（x）=x|x|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}}&{x≥0}\\{-{x}^{2}}&{x＜0}\end{array}\right.$；
f（x）=x²在[0，+∞）上单调递增，f（x）=-x²在（-∞，0）上单调递增，且这两个函数在原点的值都为0；
∴f（x）=x|x|在R上单调递增，∴该选项正确．
故选D．

点评 考查奇函数的定义域关于原点对称，正弦函数在R上的单调性，奇函数的定义及判断过程，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性，以及分段函数的单调性．