Question

已知函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；         
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知a∈R，当0＜x＜

1

2

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立的实数a构成的集合记为A；
又当x∈[-2，2]时，满足函数g（x）=f（x）-ax是单调函数的实数a构成的集合记为B，求A∩C_RB（R为全集）．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1），结合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，即(x-

1

2

)2+

3

4

＜a，根据0＜x＜

1

2

，可得

3

4

＜x2-x+1＜1，从而可得A={a|a≥1}，根据g（x）在[-2，2]上是单调函数，可求B={a|a≤-3，或a≥5}，从而可求A∩C_RB．

解答：解：（1）令x=-1，y=1，则
∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a，即x²+x-2+3＜2x+a，即x²-x+1＜a，即(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立
当0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2-x+1＜1，所以a≥1．
故A={a|a≥1}
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2
∵g（x）在[-2，2]上是单调函数，
∴

a-1

2

≤-2或

a-1

2

≥2，解得a≤-3，或a≥5．
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，∴C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

点评：本题以抽象函数为载体，考查赋值法的运用，考查恒成立问题，解题的关键是利用二次函数的性质化简集合A，B．