Question

若关于x的方程2^2x+2^x•a+a+1=0有实根，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：先令t=2^x，则关于t方程为t²+at+a+1=0 有实根，结合二次方程根的分布即可解出实数a的取值范围．

解答：解：令2^x=t＞0，原方程即为t²+at+a+1=0
则原方程有实根等价于关于t的方程t²+at+a+1=0至少有一正根．
于是有a+1＜0或a+1=0或

-a＞0 a+1＞0 a2-4(a+1)≥0

解得a≤2-2

2

．
故实数a的取值范围是（-∞，2-2

2

]．

点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及利用二次方程根的分布求变量范围，属于中档题．