Question

【题目】已知函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若f（﹣1）=﹣3，求f（x）单调区间；
（3）是否存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数？若存在，求出a的范围？若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）= （x2﹣2ax+3）的定义域为R，

∴x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0，4a2﹣12＜0

即a的取值范围﹣

（2）解：∵f（﹣1）=﹣3，∴a=2

∵f（x）= （x2﹣4x+3）．x2﹣4x+3＞0，x＜1或x＞3

设m（x）=x2﹣4x+3，对称轴x=2，

∴在（﹣∞，1）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数

根据符合函数单调性规律可判断：

f（x）在（﹣∞，1）上为增函数，在（3，+∞）上为减函数

（3）解：函数f（x）= （x2﹣2ax+3）．

设n（x）=x2﹣2ax+3，

可知在（﹣∞，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数

∵f（x）在（﹣∞，2）上为增函数

∴a≥2且4﹣4a+3≥0，a≥2且a≤ ，不可能成立．

不存在实数a，使f（x）在（﹣∞，2）上为增函数

【解析】（1）x2﹣2ax+3＞0恒成立，△＜0;（2）求出a转化为二次函数问题;（3）根据符合函数单调性求解．