设椭圆C:的一个顶点坐标为A().且其右焦点到直线的距离为3．(1)求椭圆C的轨迹方程,(2)若A.B是椭圆C上的不同两点.弦AB的垂直平分线与x轴相交于点M.则称弦AB是点M的一条“相关弦 .如果点M的坐标为M().求证:点M的所有“相关弦的中点在同一条直线上,.如果点M坐标为M(t.0).当t满足什么条件时.点M(t.0)存在无穷多条“相关弦 .并判断点M的所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

设椭圆C：

（a＞b＞0）的一个顶点坐标为A（

），且其右焦点到直线

的距离为3．
（1）求椭圆C的轨迹方程；
（2）若A、B是椭圆C上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点M，则称弦AB是点M的一条“相关弦”，如果点M的坐标为M（

），求证：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上；
（3）对于问题（2），如果点M坐标为M（t，0），当t满足什么条件时，点M（t，0）存在无穷多条“相关弦”，并判断点M的所有“相关弦”的中点是否在同一条直线上．

【答案】分析：（1）由

，a=2，能求出椭圆C的标准方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P（x，y），

，

，由于

，所以

，则x₁²+2y₁²，x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，由此能导出点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
另解：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P（x，y）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0，

，直线AB的中垂线方程为

．由此能导出“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P（x，y），

，

由于

，所以（x₂-x₁）（t-x）+（y₂-y₁）（-y）=0，则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²．所以（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．由此能导出当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
解答：解：（1）∵

，a=2
∴椭圆C的标准方程：

（2）解法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P（x，y）

，

由于

，所以

（Ⅰ）
则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②两式相减得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）

由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=1
因此：点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=1上．
解法二：设直线AB的方程为y=kx+b，k≠0，设AB中点为P（x，y）A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0

直线AB的中垂线方程为

把点

代入得

可知

所以Q的横坐标

即“相关弦”AB的中点在同一直线x=1上．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为P（x，y）

，

由于

，所以（x₂-x₁）（t-x）+（y₂-y₁）（-y）=0（Ⅰ）
则x₁²+2y₁²①x₂²+2y₂²②．
由①②两式相减得：x₁²-x₂²+2y₁²-2y₂²=0
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0（Ⅱ）

由（Ⅰ），（Ⅱ）得：x=2t-2＜2t＜2
因此：当-1＜t＜1点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线x=2t上．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．

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