Question

9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若20sinA•$\overrightarrow{BC}$+15sinB•$\overrightarrow{CA}$+12sinC•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，则△ABC的形状是直角三角形．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理可得20a•$\overrightarrow{BC}$+15b•$\overrightarrow{CA}$+12c•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，化简可得可得15b-20a=0，且12c-20a=0，求得c²-b²=a²，故△ABC为直角三角形．

解答 解：△ABC中，由20sinA•$\overrightarrow{BC}$+15sinB•$\overrightarrow{CA}$+12sinC•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
利用正弦定理得20a•$\overrightarrow{BC}$+15b•$\overrightarrow{CA}$+12c•$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}）$，
故（15b-20a）$\overrightarrow{CA}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．
由$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AB}$为不共线向量，可得15b-20a=0，且12c-20a=0，
所以b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，从而c²-b²=a²，故△ABC为直角三角形．
故答案为：直角三角形．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的运算，正弦定理的应用，属于中档题．