Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x₀）=

6

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：先将原函数化简为y=Asin（ωx+φ）+b的形式
（1）根据周期等于2π除以ω可得答案，又根据函数图象和性质可得在区间[0，

π

2

]上的最值．
（2）将x₀代入化简后的函数解析式可得到sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，再根据x₀的范围可求出cos（2x₀+

π

6

）的值，
最后由cos2x₀=cos（2x₀+

π

6

-

π

6

）可得答案．

解答：解：（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x）-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+

π

6

）在区间[0，

π

6

]上为增函数，在区间[

π

6

，

π

2

]上为减函数，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，所以函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为2，最小值为-1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）
又因为f（x₀）=

6

5

，所以sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

由x₀∈[

π

4

，

π

2

]，得2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
从而cos（2x₀+

π

6

）=-

1-sin2(2x0+ π 6 )

=-

4

5

．
所以
cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

+sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3-4 3

10

．

点评：本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数y=Asin（ωx+φ）的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力．