Question

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=

4-m，1≤m≤3 m-3，4≤m≤6

，试求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据小弹子以相同的概率落入每个通道，在每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，推出具有一般性的结论．
（Ⅱ）根据题意知变量ξ的可能取值是3，2，1，结合变量对应的事件和前一问做出的概率公式，写出变量对应的概率和分布列，求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，
P（2，1）=

C

0 1

(

1

2

)0(

1

2

)1=

1

2

P（3，2）=

C

1 2

(

1

2

)1(

1

2

)1=

1

2

∴P（m，n）=

c m-1 n-1

2n-1

（Ⅱ）由题意知变量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）=

2 C 0 5

25

=

2

32

，
P（ξ=2）=

2•C 1 5

25

=

10

32

，
P（ξ=1）=

2 C 2 5

25

=

20

32

∴ξ的分布列是

ξ	3	2	1
P	2 32	10 32	20 32

∴Eξ=3×

2

32

+2×

10

32

+1×

20

32

=

23

16

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，考查归纳推理，本题的题意比较好，容易引起学生的兴趣．