Question

16．已知关于实数x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+{y}^{3}=2}\\{y=kx+d}\end{array}\right.$没有实数解，则实数k，d的取值范围为k=-1，d≤0或d＞2．

Answer 1

分析 法一：消去y后，化简方程，利用方程的解的情况，讨论求解即可．
法二：转化方程组的两个方程为函数图象的交点问题，作出函数的图象，求解即可．

解答 解：法一：将y=kx+d代入x³+y³=2得：
x³+（kx+d）³-2=0 无解，
展开得：
（1+k³）x³+3k²dx²+3kd²x+d³-2=0，
若k≠-1，则这是三次方程，至少有一个实根，不符题意；
若k=-1，方程化为：3dx²-3d²x+d³-2=0，
若d=0，则方程化为-2=0，矛盾；满足题意．
若d≠0，这是二次方程，无解则判别式＜0，得：（3d²）²-4*3d（d³-2）＜0，即：d（-d³+8）＜0，得d＞2或d＜0．
综合得：k=-1，d＜0或d＞2．
法二关于实数x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}+{y}^{3}=2}\\{y=kx+d}\end{array}\right.$没有实数解，
也就是$\left\{\begin{array}{l}y=\root{3}{{2-x}^{3}}\\ y=kx+d\end{array}\right.$没有实数解，
在平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如图：
可知：两个函数没有交点，k=-1，d≤0或d＞2．
故答案为：k=-1，d≤0或d＞2．

点评 本题考查函数的图象的作法，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目．